UKPSC

Let the cost price of one shirt be $CC$C.

Total cost price for 150 shirts = $150C150C$150C.

Selling price for 120 shirts = $150C150C$150C.

Selling price for one shirt = $\frac{150C}{120}=1.25C\backslash frac\{150C\}\{120\}\; =\; 1.25C$120150C​=1.25C.

Profit per shirt = $1.25C-C=0.25C1.25C\; –\; C\; =\; 0.25C$1.25C−C=0.25C.

Profit percentage = $\frac{0.25C}{C}\times 100=25\mathrm{\%}\backslash frac\{0.25C\}\{C\}\; \backslash times\; 100\; =\; 25\backslash \%$C0.25C​×100=25%.

Thus, the profit is 25%.

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल
1
2
×
base
×
height
2
1
​
×base×height से दिया जाता है।

बिंदु B(1, 2) और C(2, 3) के बीच की दूरी =
(
2
−
1
)
2
+
(
3
−
2
)
2
=
2
(2−1)
2
+(3−2)
2

​
=
2
​
.

क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई, तो:

1
2
×
2
×
ℎ
=
4
  
⟹
  
ℎ
=
8
2
=
4
2
.
2
1
​
×
2
​
×h=4⟹h=
2
​

8
​
=4
2
​
.
चूंकि A रेखा
2
𝑥
+
𝑦
−
2
=
0
2x+y−2=0 पर है, इसे
𝑦
=
−
2
𝑥
+
2
y=−2x+2 में व्यक्त किया जा सकता है।

इससे
ℎ
=
∣
𝐴
𝑥
1
+
𝐵
𝑦
1
+
𝐶
∣
/
𝐴
2
+
𝐵
2
h=∣Ax
1
​
+By
1
​
+C∣/
A
2
+B
2

​
से
𝐴
A के निर्देशांक मिलेंगे।

समीकरण हल करने पर
𝐴
(
0
,
2
)
A(0,2) या
𝐴
(
1
,
0
)
A(1,0) मिलते हैं।

अतः शीर्ष A के निर्देशांक हैं (0, 2) और (1, 0)।

To find the coordinates of vertex A, we start with the formula for the area of a triangle given vertices $A(x_1,y_1)A(x\_1,\; y\_1)$A(x1​,y1​), $B(1,-2)B(1,\; -2)$B(1,−2), and $C(2,3)C(2,\; 3)$C(2,3):

$Area=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }{x}_1(-2-3)+1(3-y_1)+2(y_1+2)\mathrm{\mid }=8\backslash text\{Area\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |\; x\_1(-2\; –\; 3)\; +\; 1(3\; –\; y\_1)\; +\; 2(y\_1\; +\; 2)\; |\; =\; 8$Area=21​∣x1​(−2−3)+1(3−y1​)+2(y1​+2)∣=8Simplifying gives:

$\mathrm{\mid }-5x_1+3-y_1+2y_1+4\mathrm{\mid }=16|\; -5x\_1\; +\; 3\; –\; y\_1\; +\; 2y\_1\; +\; 4\; |\; =\; 16$∣−5x1​+3−y1​+2y1​+4∣=16 $\mathrm{\mid }-5x_1+y_1+7\mathrm{\mid }=16|\; -5x\_1\; +\; y\_1\; +\; 7\; |\; =\; 16$∣−5x1​+y1​+7∣=16This results in two equations:

1. $-5x_1+y_1+7=16-5x\_1\; +\; y\_1\; +\; 7\; =\; 16$−5x1​+y1​+7=16
2. $-5x_1+y_1+7=-16-5x\_1\; +\; y\_1\; +\; 7\; =\; -16$−5x1​+y1​+7=−16

From the first equation:

$y_1=5x_1+9y\_1\; =\; 5x\_1\; +\; 9$y1​=5x1​+9From the second equation:

$y_1=5x_1-23y\_1\; =\; 5x\_1\; –\; 23$y1​=5x1​−23Next, we substitute these into the line equation $2x+y-20=02x\; +\; y\; –\; 20\; =\; 0$2x+y−20=0:

1. For $y_1=5x_1+9y\_1\; =\; 5x\_1\; +\; 9$y1​=5x1​+9:

$2x_1+(5x_1+9)-20=0\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} 7x_1-11=0\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} x_1=\frac{11}{7},y_1=\frac{5\times 11}{7}+9=\frac{55}{7}+\frac{63}{7}=\frac{118}{7}2x\_1\; +\; (5x\_1\; +\; 9)\; –\; 20\; =\; 0\; \backslash implies\; 7x\_1\; –\; 11\; =\; 0\; \backslash implies\; x\_1\; =\; \backslash frac\{11\}\{7\},\; \backslash quad\; y\_1\; =\; \backslash frac\{5\; \backslash times\; 11\}\{7\}\; +\; 9\; =\; \backslash frac\{55\}\{7\}\; +\; \backslash frac\{63\}\{7\}\; =\; \backslash frac\{118\}\{7\}$2x1​+(5x1​+9)−20=0⟹7x1​−11=0⟹x1​=711​,y1​=75×11​+9=755​+763​=7118​

1. For $y_1=5x_1-23y\_1\; =\; 5x\_1\; –\; 23$y1​=5x1​−23:

$2x_1+(5x_1-23)-20=0\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} 7x_1-43=0\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} x_1=\frac{43}{7},y_1=\frac{5\times 43}{7}-23=\frac{215}{7}-\frac{161}{7}=\frac{54}{7}2x\_1\; +\; (5x\_1\; –\; 23)\; –\; 20\; =\; 0\; \backslash implies\; 7x\_1\; –\; 43\; =\; 0\; \backslash implies\; x\_1\; =\; \backslash frac\{43\}\{7\},\; \backslash quad\; y\_1\; =\; \backslash frac\{5\; \backslash times\; 43\}\{7\}\; –\; 23\; =\; \backslash frac\{215\}\{7\}\; –\; \backslash frac\{161\}\{7\}\; =\; \backslash frac\{54\}\{7\}$2x1​+(5x1​−23)−20=0⟹7x1​−43=0⟹x1​=743​,y1​=75×43​−23=7215​−7161​=754​Thus, the coordinates of vertex A are either $(\frac{11}{7},\frac{118}{7})\backslash left(\; \backslash frac\{11\}\{7\},\; \backslash frac\{118\}\{7\}\; \backslash right)$(711​,7118​) or $(\frac{43}{7},\frac{54}{7})\backslash left(\; \backslash frac\{43\}\{7\},\; \backslash frac\{54\}\{7\}\; \backslash right)$(743​,754​).

इस प्रश्न के लिए, हमें पहले विभिन्न विषयों में विद्यार्थियों की संख्या को व्यवस्थित करना होगा।

मान लीजिए:

• $MM$M = गणित
• $FF$F = फ्रेंच
• $BB$B = बिजनेस स्टडीज

दिए गए हैं:

• $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=270|M|\; =\; 270$∣M∣=270
• $\mathrm{\mid }F\mathrm{\mid }=300|F|\; =\; 300$∣F∣=300
• $\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=50|B|\; =\; 50$∣B∣=50
• $\mathrm{\mid }M\cap F\mathrm{\mid }=270|M\; \backslash cap\; F|\; =\; 270$∣M∩F∣=270 (सभी गणित पढ़ते हैं फ्रेंच भी)
• $\mathrm{\mid }M\cap B\mathrm{\mid }=20|M\; \backslash cap\; B|\; =\; 20$∣M∩B∣=20
• $\mathrm{\mid }F\cap B\mathrm{\mid }=35|F\; \backslash cap\; B|\; =\; 35$∣F∩B∣=35

फ्रेंच पढ़ने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या में से उन विद्यार्थियों को घटाते हैं जो गणित और बिजनेस स्टडीज पढ़ते हैं।

$FF$F के विद्यार्थियों की संख्या में से $\mathrm{\mid }M\cap F\cap B\mathrm{\mid }=20|M\; \backslash cap\; F\; \backslash cap\; B|\; =\; 20$∣M∩F∩B∣=20 और $\mathrm{\mid }F\cap B\mathrm{\mid }=35|F\; \backslash cap\; B|\; =\; 35$∣F∩B∣=35 को घटाते हैं।

विभिन्न विषयों के विद्यार्थियों का योग:

$Fran\stackrel{}{¸}ais only=\mathrm{\mid }F\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }M\cap F\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }F\cap B\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }M\cap F\cap B\mathrm{\mid }=300-270-35+20=15\backslash text\{Français\; only\}\; =\; |F|\; –\; |M\; \backslash cap\; F|\; –\; |F\; \backslash cap\; B|\; +\; |M\; \backslash cap\; F\; \backslash cap\; B|\; =\; 300\; –\; 270\; –\; 35\; +\; 20\; =\; 15$Franc¸​ais only=∣F∣−∣M∩F∣−∣F∩B∣+∣M∩F∩B∣=300−270−35+20=15अब, कुल विद्यार्थियों की संख्या $400400$400 है।

प्रायिकता:

$P\left(only F\right)=\frac{15}{400}=\frac{3}{80}P(\backslash text\{only\; F\})\; =\; \backslash frac\{15\}\{400\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{80\}$P(only F)=40015​=803​इस प्रकार, चुने गए विद्यार्थी के फ्रेंच पढ़ने की प्रायिकता $\frac{3}{80}\backslash frac\{3\}\{80\}$803​ है।