UKPSC

मान लेते हैं आयत की लंबाई

$ll$

l मीटर और चौड़ाई

$bb$

b मीटर है।

1. पहली स्थिति:

   $(l-5)(b+3)=lb-9(l\; –\; 5)(b\; +\; 3)\; =\; lb\; –\; 9$(l−5)(b+3)=lb−9

   $lb-5b+3l-15=lb-9lb\; –\; 5b\; +\; 3l\; –\; 15\; =\; lb\; –\; 9$lb−5b+3l−15=lb−9

   $-5b+3l-15=-9\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} 3l-5b=6(समीकरण 1)-5b\; +\; 3l\; –\; 15\; =\; -9\; \backslash implies\; 3l\; –\; 5b\; =\; 6\; \backslash quad\; \backslash text\{(समीकरण\; 1)\}$−5b+3l−15=−9⟹3l−5b=6(समीकरण 1)

2. दूसरी स्थिति:

   $(l+3)(b+2)=lb+67(l\; +\; 3)(b\; +\; 2)\; =\; lb\; +\; 67$(l+3)(b+2)=lb+67

   $lb+2l+3b+6=lb+67lb\; +\; 2l\; +\; 3b\; +\; 6\; =\; lb\; +\; 67$lb+2l+3b+6=lb+67

   $2l+3b+6=67\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} 2l+3b=61(समीकरण 2)2l\; +\; 3b\; +\; 6\; =\; 67\; \backslash implies\; 2l\; +\; 3b\; =\; 61\; \backslash quad\; \backslash text\{(समीकरण\; 2)\}$2l+3b+6=67⟹2l+3b=61(समीकरण 2)

अब, समीकरण 1 और 2 को हल करते हैं:

1. 
   $3l-5b=63l\; –\; 5b\; =\; 6$ 

   3l−5b=6

2. 
   $2l+3b=612l\; +\; 3b\; =\; 61$ 

   2l+3b=61

समीकरण 2 से

$ll$

l ज्ञात करें:

$2l=61-3b\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} l=\frac{61-3b}{2}2l\; =\; 61\; –\; 3b\; \backslash implies\; l\; =\; \backslash frac\{61\; –\; 3b\}\{2\}$

2l=61−3b⟹l=261−3b​इस

$ll$

l को समीकरण 1 में डालें:

$3\left(\frac{61-3b}{2}\right)-5b=63\backslash left(\backslash frac\{61\; –\; 3b\}\{2\}\backslash right)\; –\; 5b\; =\; 6$

3(261−3b​)−5b=6

$\frac{183-9b}{2}-5b=6\backslash frac\{183\; –\; 9b\}\{2\}\; –\; 5b\; =\; 6$

2183−9b​−5b=6

$183-9b-10b=12183\; –\; 9b\; –\; 10b\; =\; 12$

183−9b−10b=12

$183-12b=12\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} 12b=171\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} b=\frac{171}{12}\approx 14.25183\; –\; 12b\; =\; 12\; \backslash implies\; 12b\; =\; 171\; \backslash implies\; b\; =\; \backslash frac\{171\}\{12\}\; \backslash approx\; 14.25$

183−12b=12⟹12b=171⟹b=12171​≈14.25अब

$bb$

b का मान समीकरण 2 में डालें:

$2l+3\left(14.25\right)=61\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} 2l+42.75=612l\; +\; 3(14.25)\; =\; 61\; \backslash implies\; 2l\; +\; 42.75\; =\; 61$

2l+3(14.25)=61⟹2l+42.75=61

$2l=61-42.75\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} 2l=18.25\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} l=\frac{18.25}{2}\approx 9.1252l\; =\; 61\; –\; 42.75\; \backslash implies\; 2l\; =\; 18.25\; \backslash implies\; l\; =\; \backslash frac\{18.25\}\{2\}\; \backslash approx\; 9.125$

2l=61−42.75⟹2l=18.25⟹l=218.25​≈9.125अतः, आयत की लंबाई

$9.1259.125$

9.125 मीटर और चौड़ाई

$14.2514.25$

14.25 मीटर है।

मान लेते हैं व्यक्ति के पास प्रारंभ में कुल धन

$xx$

x है।

1. व्यक्ति ने
   $12.5\mathrm{\%}12.5\backslash \%$ 

   12.5% धन खो दिया:

   $खोया धन=0.125x\backslash text\{खोया\; धन\}\; =\; 0.125x$खोया धन=0.125x

   $बचा धन=x-0.125x=0.875x\backslash text\{बचा\; धन\}\; =\; x\; –\; 0.125x\; =\; 0.875x$बचा धन=x−0.125x=0.875x

2. बचे धन का
   $60\mathrm{\%}60\backslash \%$ 

   60% व्यय किया:

   $व्यय=0.6\times 0.875x=0.525x\backslash text\{व्यय\}\; =\; 0.6\; \backslash times\; 0.875x\; =\; 0.525x$व्यय=0.6×0.875x=0.525x

   $बचा धन=0.875x-0.525x=0.35x\backslash text\{बचा\; धन\}\; =\; 0.875x\; –\; 0.525x\; =\; 0.35x$बचा धन=0.875x−0.525x=0.35x

3. अब,
   $0.35x0.35x$ 

   0.35x को $8\mathrm{\%}8\backslash \%$ 

   8% ब्याज पर 2 वर्ष के लिए जमा किया:

   $मिलने वाली राशि=प्रधान+ब्याज\backslash text\{मिलने\; वाली\; राशि\}\; =\; \backslash text\{प्रधान\}\; +\; \backslash text\{ब्याज\}$मिलने वाली राशि=प्रधान+ब्याज

   $2030=0.35x+(0.35x\times \frac{8}{100}\times 2)2030\; =\; 0.35x\; +\; \backslash left(0.35x\; \backslash times\; \backslash frac\{8\}\{100\}\; \backslash times\; 2\backslash right)$2030=0.35x+(0.35x×1008​×2)

   $2030=0.35x+0.056x=0.406x2030\; =\; 0.35x\; +\; 0.056x\; =\; 0.406x$2030=0.35x+0.056x=0.406x

4. 
   $xx$ 

   x की गणना:

   $0.406x=2030\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} x=\frac{2030}{0.406}\approx 50000.406x\; =\; 2030\; \backslash implies\; x\; =\; \backslash frac\{2030\}\{0.406\}\; \backslash approx\; 5000$0.406x=2030⟹x=0.4062030​≈5000

अतः, व्यक्ति के पास प्रारंभ में कुल धन ₹5000 था।

हम पहले दी गई जानकारी का उपयोग करके विद्यार्थियों की संख्या का विश्लेषण करते हैं:

• कुल विद्यार्थी = 60
• क्रिकेट (C) = 25
• फुटबॉल (F) = 30
• हॉकी (H) = 24
• क्रिकेट और फुटबॉल दोनों (C ∩ F) = 10
• क्रिकेट और हॉकी दोनों (C ∩ H) = 12
• हॉकी और फुटबॉल दोनों (H ∩ F) = 8
• तीनों खेल (C ∩ F ∩ H) = 5

अब, हम एकल खेल खेलने वाले विद्यार्थियों की संख्या निकालते हैं:

1. क्रिकेट खेलते हैं:

   $C-(C\cap F+C\cap H-C\cap F\cap H)=25-(10+12-5)=25-17=8C\; –\; (C\; \cap \; F\; +\; C\; \cap \; H\; –\; C\; \cap \; F\; \cap \; H)\; =\; 25\; –\; (10\; +\; 12\; –\; 5)\; =\; 25\; –\; 17\; =\; 8$C−(C∩F+C∩H−C∩F∩H)=25−(10+12−5)=25−17=8

2. फुटबॉल खेलते हैं:

   $F-(C\cap F+H\cap F-C\cap F\cap H)=30-(10+8-5)=30-13=17F\; –\; (C\; \cap \; F\; +\; H\; \cap \; F\; –\; C\; \cap \; F\; \cap \; H)\; =\; 30\; –\; (10\; +\; 8\; –\; 5)\; =\; 30\; –\; 13\; =\; 17$F−(C∩F+H∩F−C∩F∩H)=30−(10+8−5)=30−13=17

3. हॉकी खेलते हैं:

   $H-(C\cap H+H\cap F-C\cap F\cap H)=24-(12+8-5)=24-15=9H\; –\; (C\; \cap \; H\; +\; H\; \cap \; F\; –\; C\; \cap \; F\; \cap \; H)\; =\; 24\; –\; (12\; +\; 8\; –\; 5)\; =\; 24\; –\; 15\; =\; 9$H−(C∩H+H∩F−C∩F∩H)=24−(12+8−5)=24−15=9

अब, एकल खेल खेलने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या:

$8+17+9=348\; +\; 17\; +\; 9\; =\; 34$

8+17+9=34अतः, 34 विद्यार्थी केवल एक खेल खेलते हैं।

घड़ी की मिनट की सुई एक वृत्ताकार पथ में घूमती है।

सुई की लंबाई (त्रिज्या)

$r=14\hspace{0.17em}सेमीr\; =\; 14\; \backslash ,\; \backslash text\{सेमी\}$

r=14सेमी है।

5 मिनट में सुई

$5\times 6=305\; \backslash times\; 6\; =\; 30$

5×6=30 डिग्री घूमती है।

वृत्त का क्षेत्रफल

$A=\pi r^{2}A\; =\; \backslash pi\; r^2$

A=πr2:

$A=\pi (14{)}^2=196\pi \hspace{0.17em}{2}^{}A\; =\; \backslash pi\; (14)^2\; =\; 196\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{सेमी\}^2$

A=π(14)2=196πसेमी2

5 मिनट में तय किया गया क्षेत्रफल:

$क्षेत्रफल=\frac{30}{360}\times 196\pi =\frac{1}{12}\times 196\pi \approx 51.67\hspace{0.17em}{2}^{}\backslash text\{क्षेत्रफल\}\; =\; \backslash frac\{30\}\{360\}\; \backslash times\; 196\backslash pi\; =\; \backslash frac\{1\}\{12\}\; \backslash times\; 196\backslash pi\; \backslash approx\; 51.67\; \backslash ,\; \backslash text\{सेमी\}^2$

क्षेत्रफल=36030​×196π=121​×196π≈51.67सेमी2

अतः, 5 मिनट में तय किया गया क्षेत्रफल लगभग

$51.67\hspace{0.17em}{2}^{}51.67\; \backslash ,\; \backslash text\{सेमी\}^2$

51.67सेमी2 है।

कार द्वारा यात्रा की कुल दूरी:

$30\hspace{0.17em}किमी+30\hspace{0.17em}किमी+30\hspace{0.17em}किमी=90\hspace{0.17em}किमी30\; \backslash ,\; \backslash text\{किमी\}\; +\; 30\; \backslash ,\; \backslash text\{किमी\}\; +\; 30\; \backslash ,\; \backslash text\{किमी\}\; =\; 90\; \backslash ,\; \backslash text\{किमी\}$

30किमी+30किमी+30किमी=90किमी

अब, प्रत्येक खंड के लिए समय निकालते हैं:

1. पहले 30 किमी की चाल 20 किमी/घंटा:

$समय=\frac{30}{20}=1.5\hspace{0.17em}घंटे\backslash text\{समय\}\; =\; \backslash frac\{30\}\{20\}\; =\; 1.5\; \backslash ,\; \backslash text\{घंटे\}$

समय=2030​=1.5घंटे

1. अगले 30 किमी की चाल 25 किमी/घंटा:

$समय=\frac{30}{25}=1.2\hspace{0.17em}घंटे\backslash text\{समय\}\; =\; \backslash frac\{30\}\{25\}\; =\; 1.2\; \backslash ,\; \backslash text\{घंटे\}$

समय=2530​=1.2घंटे

1. आखिरी 30 किमी की चाल 30 किमी/घंटा:

$समय=\frac{30}{30}=1\hspace{0.17em}घंटा\backslash text\{समय\}\; =\; \backslash frac\{30\}\{30\}\; =\; 1\; \backslash ,\; \backslash text\{घंटा\}$

समय=3030​=1घंटा

कुल समय:

$1.5+1.2+1=3.7\hspace{0.17em}घंटे1.5\; +\; 1.2\; +\; 1\; =\; 3.7\; \backslash ,\; \backslash text\{घंटे\}$

1.5+1.2+1=3.7घंटे

औसत चाल:

$औसत चाल=\frac{}{}=\frac{90}{3.7}\approx 24.32\hspace{0.17em}k/m\hspace{0.17em}घंटा\backslash text\{औसत\; चाल\}\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{कुल\; दूरी\}\}\{\backslash text\{कुल\; समय\}\}\; =\; \backslash frac\{90\}\{3.7\}\; \backslash approx\; 24.32\; \backslash ,\; \backslash text\{k/m\}\; \backslash ,\; \backslash text\{घंटा\}$

औसत चाल=कुल समयकुल दूरी​=3.790​≈24.32k/mघंटा

अतः, कार की औसत चाल लगभग 24.32 किमी/घंटा है।