बिन्दु $A(0,4)A(0,\; 4)$A(0,4), $B(1,3)B(1,\; 3)$B(1,3) और $C(6,0)C(6,\; 0)$C(6,0) से त्रिभुज $ABCABC$ABC के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:

$Area=\frac{1}{2}\mid x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\mid \backslash text\{Area\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left|\; x\_1(y\_2-y\_3)\; +\; x\_2(y\_3-y\_1)\; +\; x\_3(y\_1-y\_2)\; \backslash right|$Area=21​∣x1​(y2​−y3​)+x2​(y3​−y1​)+x3​(y1​−y2​)∣

यहाँ $(x_1,y_1)=A,(x_2,y_2)=B,(x_3,y_3)=C(x\_1,\; y\_1)\; =\; A,\; (x\_2,\; y\_2)\; =\; B,\; (x\_3,\; y\_3)\; =\; C$(x1​,y1​)=A,(x2​,y2​)=B,(x3​,y3​)=C:

${ABC}_{}=\frac{1}{2}\mid 0(3-0)+1(0-4)+6(4-3)\mid =\frac{1}{2}\mid 0-4+6\mid =\frac{1}{2}\times 2=1\backslash text\{Area\}\_\{ABC\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left|\; 0(3-0)\; +\; 1(0-4)\; +\; 6(4-3)\; \backslash right|\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left|\; 0\; –\; 4\; +\; 6\; \backslash right|\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash times\; 2\; =\; 1$AreaABC​=21​∣0(3−0)+1(0−4)+6(4−3)∣=21​∣0−4+6∣=21​×2=1

बिन्दु $DD$D को $ACAC$AC पर $1:31:3$1:3 के अनुपात में अन्तः विभाजित करने के लिए:

$D(\frac{1\cdot 6+3\cdot 0}{1+3},\frac{1\cdot 0+3\cdot 4}{1+3})=D(\frac{6}{4},\frac{12}{4})=D(1.5,3)D\backslash left(\; \backslash frac\{1\; \backslash cdot\; 6\; +\; 3\; \backslash cdot\; 0\}\{1\; +\; 3\},\; \backslash frac\{1\; \backslash cdot\; 0\; +\; 3\; \backslash cdot\; 4\}\{1\; +\; 3\}\; \backslash right)\; =\; D\backslash left(\; \backslash frac\{6\}\{4\},\; \backslash frac\{12\}\{4\}\; \backslash right)\; =\; D(1.5,\; 3)$D(1+31⋅6+3⋅0​,1+31⋅0+3⋅4​)=D(46​,412​)=D(1.5,3)

अब त्रिभुज $ABDABD$ABD के क्षेत्रफल की गणना करें:

${ABD}_{}=\frac{1}{2}\mid 0(3-3)+1(3-4)+1.5(4-3)\mid =\frac{1}{2}\mid 0-1+1.5\mid =\frac{1}{2}\times 0.5=0.25\backslash text\{Area\}\_\{ABD\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left|\; 0(3-3)\; +\; 1(3-4)\; +\; 1.5(4-3)\; \backslash right|\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left|\; 0\; –\; 1\; +\; 1.5\; \backslash right|\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash times\; 0.5\; =\; 0.25$AreaABD​=21​∣0(3−3)+1(3−4)+1.5(4−3)∣=21​∣0−1+1.5∣=21​×0.5=0.25

अतः ${ABD}_{}:{ABC}_{}=0.25:1=1:4\backslash text\{Area\}\_\{ABD\}\; :\; \backslash text\{Area\}\_\{ABC\}\; =\; 0.25\; :\; 1\; =\; 1\; :\; 4$AreaABD​:AreaABC​=0.25:1=1:4।

निष्कर्ष: $DD$D के निर्देशांक $(1.5,3)(1.5,\; 3)$(1.5,3) हैं, और त्रिभुज $ABDABD$ABD का क्षेत्रफल त्रिभुज $ABCABC$ABC के क्षेत्रफल के मुकाबले $1:41:4$1:4 है।