धनराशि ₹ 15,02,000 को $A,B,CA,\; B,\; C$A,B,C में $5:7:85:7:8$5:7:8 के अनुपात में बांटने पर:

कुल अनुपात $5+7+8=205\; +\; 7\; +\; 8\; =\; 20$5+7+8=20 है।

• $AA$A की राशि:

  $A=\frac{5}{20}\times 15,02,000=₹3,75,500A\; =\; \backslash frac\{5\}\{20\}\; \backslash times\; 15,02,000\; =\; ₹\; 3,75,500$A=205​×15,02,000=₹3,75,500

• $BB$B की राशि:

  $B=\frac{7}{20}\times 15,02,000=₹5,25,700B\; =\; \backslash frac\{7\}\{20\}\; \backslash times\; 15,02,000\; =\; ₹\; 5,25,700$B=207​×15,02,000=₹5,25,700

• $CC$C की राशि:

  $C=\frac{8}{20}\times 15,02,000=₹6,00,800C\; =\; \backslash frac\{8\}\{20\}\; \backslash times\; 15,02,000\; =\; ₹\; 6,00,800$C=208​×15,02,000=₹6,00,800

अब साधारण व्याज की गणना करते हैं:

1. A के लिए (4% पर 2 साल):

   $A_{}=\frac{P\times r\times t}{100}=\frac{3,75,500\times 4\times 2}{100}=₹3,006\backslash text\{SI\}\_A\; =\; \backslash frac\{P\; \backslash times\; r\; \backslash times\; t\}\{100\}\; =\; \backslash frac\{3,75,500\; \backslash times\; 4\; \backslash times\; 2\}\{100\}\; =\; ₹\; 3,006$SIA​=100P×r×t​=1003,75,500×4×2​=₹3,006

2. C के लिए (6% पर 5 साल):

   $C_{}=\frac{P\times r\times t}{100}=\frac{6,00,800\times 6\times 5}{100}=₹1,80,240\backslash text\{SI\}\_C\; =\; \backslash frac\{P\; \backslash times\; r\; \backslash times\; t\}\{100\}\; =\; \backslash frac\{6,00,800\; \backslash times\; 6\; \backslash times\; 5\}\{100\}\; =\; ₹\; 1,80,240$SIC​=100P×r×t​=1006,00,800×6×5​=₹1,80,240

निष्कर्ष: A द्वारा अर्जित साधारण व्याज ₹ 3,006 है, और C द्वारा अर्जित साधारण व्याज ₹ 1,80,240 है।

बिन्दु $A(0,4)A(0,\; 4)$A(0,4), $B(1,3)B(1,\; 3)$B(1,3) और $C(6,0)C(6,\; 0)$C(6,0) से त्रिभुज $ABCABC$ABC के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:

$Area=\frac{1}{2}\mid x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\mid \backslash text\{Area\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left|\; x\_1(y\_2-y\_3)\; +\; x\_2(y\_3-y\_1)\; +\; x\_3(y\_1-y\_2)\; \backslash right|$Area=21​∣x1​(y2​−y3​)+x2​(y3​−y1​)+x3​(y1​−y2​)∣

यहाँ $(x_1,y_1)=A,(x_2,y_2)=B,(x_3,y_3)=C(x\_1,\; y\_1)\; =\; A,\; (x\_2,\; y\_2)\; =\; B,\; (x\_3,\; y\_3)\; =\; C$(x1​,y1​)=A,(x2​,y2​)=B,(x3​,y3​)=C:

${ABC}_{}=\frac{1}{2}\mid 0(3-0)+1(0-4)+6(4-3)\mid =\frac{1}{2}\mid 0-4+6\mid =\frac{1}{2}\times 2=1\backslash text\{Area\}\_\{ABC\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left|\; 0(3-0)\; +\; 1(0-4)\; +\; 6(4-3)\; \backslash right|\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left|\; 0\; –\; 4\; +\; 6\; \backslash right|\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash times\; 2\; =\; 1$AreaABC​=21​∣0(3−0)+1(0−4)+6(4−3)∣=21​∣0−4+6∣=21​×2=1

बिन्दु $DD$D को $ACAC$AC पर $1:31:3$1:3 के अनुपात में अन्तः विभाजित करने के लिए:

$D(\frac{1\cdot 6+3\cdot 0}{1+3},\frac{1\cdot 0+3\cdot 4}{1+3})=D(\frac{6}{4},\frac{12}{4})=D(1.5,3)D\backslash left(\; \backslash frac\{1\; \backslash cdot\; 6\; +\; 3\; \backslash cdot\; 0\}\{1\; +\; 3\},\; \backslash frac\{1\; \backslash cdot\; 0\; +\; 3\; \backslash cdot\; 4\}\{1\; +\; 3\}\; \backslash right)\; =\; D\backslash left(\; \backslash frac\{6\}\{4\},\; \backslash frac\{12\}\{4\}\; \backslash right)\; =\; D(1.5,\; 3)$D(1+31⋅6+3⋅0​,1+31⋅0+3⋅4​)=D(46​,412​)=D(1.5,3)

अब त्रिभुज $ABDABD$ABD के क्षेत्रफल की गणना करें:

${ABD}_{}=\frac{1}{2}\mid 0(3-3)+1(3-4)+1.5(4-3)\mid =\frac{1}{2}\mid 0-1+1.5\mid =\frac{1}{2}\times 0.5=0.25\backslash text\{Area\}\_\{ABD\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left|\; 0(3-3)\; +\; 1(3-4)\; +\; 1.5(4-3)\; \backslash right|\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left|\; 0\; –\; 1\; +\; 1.5\; \backslash right|\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash times\; 0.5\; =\; 0.25$AreaABD​=21​∣0(3−3)+1(3−4)+1.5(4−3)∣=21​∣0−1+1.5∣=21​×0.5=0.25

अतः ${ABD}_{}:{ABC}_{}=0.25:1=1:4\backslash text\{Area\}\_\{ABD\}\; :\; \backslash text\{Area\}\_\{ABC\}\; =\; 0.25\; :\; 1\; =\; 1\; :\; 4$AreaABD​:AreaABC​=0.25:1=1:4।

निष्कर्ष: $DD$D के निर्देशांक $(1.5,3)(1.5,\; 3)$(1.5,3) हैं, और त्रिभुज $ABDABD$ABD का क्षेत्रफल त्रिभुज $ABCABC$ABC के क्षेत्रफल के मुकाबले $1:41:4$1:4 है।

यदि समुच्चय $AA$A में $mm$m तत्त्व हैं, तो उसके उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^{m}2^m$2m होगी। इसी प्रकार, यदि समुच्चय $BB$B में $nn$n तत्त्व हैं, तो उसके उपसमुच्चों की कुल संख्या $2^{n}2^n$2n होगी।

दी गई स्थिति के अनुसार:

$2^m=2^n+562^m\; =\; 2^n\; +\; 56$2m=2n+56

इस समीकरण को हल करने के लिए, $mm$m और $nn$n के मान खोजने होंगे।

कुछ संभावित मानों के लिए परीक्षण करते हैं:

1. यदि $n=5n\; =\; 5$n=5, तो $2^n=322^n\; =\; 32$2n=32:

   $2^m=32+56=88\Rightarrow m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।2^m\; =\; 32\; +\; 56\; =\; 88\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; m\; \backslash text\{\; का\; मान\; कोई\; पूर्णांक\; नहीं\; है।\}$2m=32+56=88⇒m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।

2. यदि $n=6n\; =\; 6$n=6, तो $2^n=642^n\; =\; 64$2n=64:

   $2^m=64+56=120\Rightarrow m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।2^m\; =\; 64\; +\; 56\; =\; 120\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; m\; \backslash text\{\; का\; मान\; कोई\; पूर्णांक\; नहीं\; है।\}$2m=64+56=120⇒m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।

3. यदि $n=7n\; =\; 7$n=7, तो $2^n=1282^n\; =\; 128$2n=128:

   $2^m=128+56=184\Rightarrow m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।2^m\; =\; 128\; +\; 56\; =\; 184\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; m\; \backslash text\{\; का\; मान\; कोई\; पूर्णांक\; नहीं\; है।\}$2m=128+56=184⇒m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।

4. यदि $n=4n\; =\; 4$n=4, तो $2^n=162^n\; =\; 16$2n=16:

   $2^m=16+56=72\Rightarrow m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।2^m\; =\; 16\; +\; 56\; =\; 72\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; m\; \backslash text\{\; का\; मान\; कोई\; पूर्णांक\; नहीं\; है।\}$2m=16+56=72⇒m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।

5. यदि $n=3n\; =\; 3$n=3, तो $2^n=82^n\; =\; 8$2n=8:

   $2^m=8+56=64\Rightarrow m=62^m\; =\; 8\; +\; 56\; =\; 64\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; m\; =\; 6$2m=8+56=64⇒m=6

इसलिए, $m=6m\; =\; 6$m=6 और $n=3n\; =\; 3$n=3 हैं।

अतः $m+n=6+3=9m\; +\; n\; =\; 6\; +\; 3\; =\; 9$m+n=6+3=9।

आयत ABCD के तीन शीषों के निर्देशांक हैं: $A(2,3)A(2,\; 3)$A(2,3), $B(3,0)B(3,\; 0)$B(3,0), और $C(9,2)C(9,\; 2)$C(9,2).

1. क्षेत्रफल: आयत के क्षेत्रफल के लिए, हम पहले चौड़ाई और लंबाई ज्ञात करते हैं। $ABAB$AB की लंबाई:

   $AB=\sqrt{(3-2{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}AB\; =\; \backslash sqrt\{(3\; –\; 2)^2\; +\; (0\; –\; 3)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1\; +\; 9\}\; =\; \backslash sqrt\{10\}$AB=(3−2)2+(0−3)2​=1+9​=10​$ACAC$AC की लंबाई:

   $AC=\sqrt{(9-2{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}AC\; =\; \backslash sqrt\{(9\; –\; 2)^2\; +\; (2\; –\; 3)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{49\; +\; 1\}\; =\; \backslash sqrt\{50\}$AC=(9−2)2+(2−3)2​=49+1​=50​क्षेत्रफल:

   $Area=AB\times AC=\sqrt{10}\times \sqrt{50}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}\hspace{0.17em}(क्षेत्रफल)\backslash text\{Area\}\; =\; AB\; \backslash times\; AC\; =\; \backslash sqrt\{10\}\; \backslash times\; \backslash sqrt\{50\}\; =\; \backslash sqrt\{500\}\; =\; 10\backslash sqrt\{5\}\; \backslash ,\; \backslash text\{(क्षेत्रफल)\}$Area=AB×AC=10​×50​=500​=105​(क्षेत्रफल)

2. विकर्ण BD की लम्बाई: $B(3,0)B(3,\; 0)$B(3,0) और $D(x,y)D(x,\; y)$D(x,y) के लिए, $DD$D के निर्देशांक $(9,3)(9,\; 3)$(9,3) मान सकते हैं (चौकोरता बनाए रखने के लिए)। विकर्ण BD की लम्बाई:

   $BD=\sqrt{(9-3{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}BD\; =\; \backslash sqrt\{(9\; –\; 3)^2\; +\; (3\; –\; 0)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{36\; +\; 9\}\; =\; \backslash sqrt\{45\}\; =\; 3\backslash sqrt\{5\}$BD=(9−3)2+(3−0)2​=36+9​=45​=35​

अतः, आयत का क्षेत्रफल $10\sqrt{5}10\backslash sqrt\{5\}$105​ और विकर्ण BD की लम्बाई $3\sqrt{5}3\backslash sqrt\{5\}$35​ है।