गणितीय विज्ञान

जनसंख्या वृद्धि की गणना

समस्या विवरण एक शहर की जनसंख्या वार्षिक 10% की वृद्धि दर से बढ़ती है। वर्तमान में जनसंख्या 20,000 है। हमें 2 वर्षों बाद शहर की जनसंख्या ज्ञात करनी है।

गणितीय प्रतिनिधित्व

भविष्य की जनसंख्या निर्धारित करने के लिए हम यथार्थ दर पर आधारित वृद्धि सूत्र का उपयोग करेंगे। यह सूत्र यथार्थ दर की गणना के लिए उपयुक्त है क्योंकि वृद्धि दर वार्षिक रूप से संकलित होती है। सूत्र इस प्रकार है:

$P_{}=P_{}\times (1+r{)}^{n}P\_\{\backslash text\{future\}\}\; =\; P\_\{\backslash text\{present\}\}\; \backslash times\; (1\; +\; r)^n$Pfuture​=Ppresent​×(1+r)n

जहाँ:

• $P_{}P\_\{\backslash text\{future\}\}$Pfuture​ = भविष्य की जनसंख्या
• $P_{}P\_\{\backslash text\{present\}\}$Ppresent​ = वर्तमान जनसंख्या
• $rr$r = वार्षिक वृद्धि दर (दशमलव में)
• $nn$n = वर्षों की संख्या

इस मामले में:

• $P_{}=20,000P\_\{\backslash text\{present\}\}\; =\; 20,000$Ppresent​=20,000
• $r=10\mathrm{\%}=0.10r\; =\; 10\backslash \%\; =\; 0.10$r=10%=0.10
• $n=2n\; =\; 2$n=2

सूत्र का प्रयोग

1. मानों को सूत्र में स्थानांतरित करें:

   $P_{}=20,000\times (1+0.10{)}^{2}P\_\{\backslash text\{future\}\}\; =\; 20,000\; \backslash times\; (1\; +\; 0.10)^2$Pfuture​=20,000×(1+0.10)2

2. $(1+0.10{)}^2(1\; +\; 0.10)^2$(1+0.10)2 की गणना करें:

   $(1+0.10{)}^2=1.10^2(1\; +\; 0.10)^2\; =\; 1.10^2$(1+0.10)2=1.102

   $1.10^2=1.211.10^2\; =\; 1.21$1.102=1.21

3. वर्तमान जनसंख्या से गुणा करें:

   $P_{}=20,000\times 1.21P\_\{\backslash text\{future\}\}\; =\; 20,000\; \backslash times\; 1.21$Pfuture​=20,000×1.21

   $P_{}=24,200P\_\{\backslash text\{future\}\}\; =\; 24,200$Pfuture​=24,200

निष्कर्ष

2 वर्षों बाद शहर की जनसंख्या 24,200 होगी।

हाल के उदाहरण और संदर्भ

• शहरी योजना और विकास: हाल के वर्षों में, शहरी योजना और विकास के लिए जनसंख्या वृद्धि के अनुमान का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, भारतीय शहरों जैसे दिल्ली और मुंबई में, जनसंख्या वृद्धि के मॉडल का उपयोग बुनियादी ढांचे की योजना और सार्वजनिक सेवाओं की प्रबंधन के लिए किया जाता है।
• आवास और रियल एस्टेट: रियल एस्टेट कंपनियां जनसंख्या वृद्धि की भविष्यवाणियों का उपयोग नई परियोजनाओं की योजना बनाने के लिए करती हैं। उदाहरण के लिए, पुणे और बेंगलुरु में रियल एस्टेट विकास कंपनियों ने भविष्यवाणी की है कि जनसंख्या वृद्धि के कारण मांग में वृद्धि होगी।

सत्यापन

सत्यापन के लिए:

• वार्षिक वृद्धि का परीक्षण: पहले वर्ष के अंत में जनसंख्या 20,000 × 1.10 = 22,000 होगी। दूसरे वर्ष के अंत में, 22,000 × 1.10 = 24,200 होगी। यह गणना से मेल खाता है।

इस प्रकार, 2 वर्षों बाद शहर की जनसंख्या 10% वार्षिक वृद्धि दर के साथ 24,200 होगी।

रवि की आयु ज्ञात करना

समस्या विवरण समस्या के अनुसार, अमन की आयु रवि की आयु के तीन गुना से 15 वर्ष अधिक है। हमें बताया गया है कि अमन की आयु 60 वर्ष है, और हमें रवि की आयु ज्ञात करनी है।

गणितीय प्रतिनिधित्व

मान लीजिए, रवि की आयु को $RR$R के रूप में निरूपित करते हैं। समस्या के अनुसार, अमन की आयु को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$अमन की आयु=3\times रवि की आयु+15\backslash text\{अमन\; की\; आयु\}\; =\; 3\; \backslash times\; \backslash text\{रवि\; की\; आयु\}\; +\; 15$अमन की आयु=3×रवि की आयु+15

हमें पता है कि अमन की आयु 60 वर्ष है, तो हम इस आधार पर एक समीकरण सेट कर सकते हैं:

$60=3R+1560\; =\; 3R\; +\; 15$60=3R+15

समीकरण का समाधान

1. दोनों पक्षों से 15 घटाएं:

   $60-15=3R60\; –\; 15\; =\; 3R$60−15=3R

   $45=3R45\; =\; 3R$45=3R

2. $RR$R के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:

   $R=\frac{45}{3}R\; =\; \backslash frac\{45\}\{3\}$R=345​

   $R=15R\; =\; 15$R=15

निष्कर्ष

रवि की आयु 15 वर्ष है।

सत्यापन

समाधान की सटीकता सुनिश्चित करने के लिए, रवि की आयु को मूल संबंध में पुनः प्रतिस्थापित करें:

• रवि की आयु का तीन गुना $3\times 15=453\; \backslash times\; 15\; =\; 45$3×15=45 होता है।
• 15 वर्ष जोड़ने पर: $45+15=6045\; +\; 15\; =\; 60$45+15=60, जो अमन की आयु से मेल खाता है।

इसलिए, गणना सही है। रवि की आयु वास्तव में 15 वर्ष है।