यदि समुच्चय $AA$A में $mm$m तत्त्व हैं, तो उसके उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^{m}2^m$2m होगी। इसी प्रकार, यदि समुच्चय $BB$B में $nn$n तत्त्व हैं, तो उसके उपसमुच्चों की कुल संख्या $2^{n}2^n$2n होगी।

दी गई स्थिति के अनुसार:

$2^m=2^n+562^m\; =\; 2^n\; +\; 56$2m=2n+56

इस समीकरण को हल करने के लिए, $mm$m और $nn$n के मान खोजने होंगे।

कुछ संभावित मानों के लिए परीक्षण करते हैं:

1. यदि $n=5n\; =\; 5$n=5, तो $2^n=322^n\; =\; 32$2n=32:

   $2^m=32+56=88\Rightarrow m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।2^m\; =\; 32\; +\; 56\; =\; 88\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; m\; \backslash text\{\; का\; मान\; कोई\; पूर्णांक\; नहीं\; है।\}$2m=32+56=88⇒m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।

2. यदि $n=6n\; =\; 6$n=6, तो $2^n=642^n\; =\; 64$2n=64:

   $2^m=64+56=120\Rightarrow m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।2^m\; =\; 64\; +\; 56\; =\; 120\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; m\; \backslash text\{\; का\; मान\; कोई\; पूर्णांक\; नहीं\; है।\}$2m=64+56=120⇒m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।

3. यदि $n=7n\; =\; 7$n=7, तो $2^n=1282^n\; =\; 128$2n=128:

   $2^m=128+56=184\Rightarrow m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।2^m\; =\; 128\; +\; 56\; =\; 184\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; m\; \backslash text\{\; का\; मान\; कोई\; पूर्णांक\; नहीं\; है।\}$2m=128+56=184⇒m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।

4. यदि $n=4n\; =\; 4$n=4, तो $2^n=162^n\; =\; 16$2n=16:

   $2^m=16+56=72\Rightarrow m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।2^m\; =\; 16\; +\; 56\; =\; 72\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; m\; \backslash text\{\; का\; मान\; कोई\; पूर्णांक\; नहीं\; है।\}$2m=16+56=72⇒m का मान कोई पूर्णांक नहीं है।

5. यदि $n=3n\; =\; 3$n=3, तो $2^n=82^n\; =\; 8$2n=8:

   $2^m=8+56=64\Rightarrow m=62^m\; =\; 8\; +\; 56\; =\; 64\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; m\; =\; 6$2m=8+56=64⇒m=6

इसलिए, $m=6m\; =\; 6$m=6 और $n=3n\; =\; 3$n=3 हैं।

अतः $m+n=6+3=9m\; +\; n\; =\; 6\; +\; 3\; =\; 9$m+n=6+3=9।

आयत ABCD के तीन शीषों के निर्देशांक हैं: $A(2,3)A(2,\; 3)$A(2,3), $B(3,0)B(3,\; 0)$B(3,0), और $C(9,2)C(9,\; 2)$C(9,2).

1. क्षेत्रफल: आयत के क्षेत्रफल के लिए, हम पहले चौड़ाई और लंबाई ज्ञात करते हैं। $ABAB$AB की लंबाई:

   $AB=\sqrt{(3-2{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}AB\; =\; \backslash sqrt\{(3\; –\; 2)^2\; +\; (0\; –\; 3)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1\; +\; 9\}\; =\; \backslash sqrt\{10\}$AB=(3−2)2+(0−3)2​=1+9​=10​$ACAC$AC की लंबाई:

   $AC=\sqrt{(9-2{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}AC\; =\; \backslash sqrt\{(9\; –\; 2)^2\; +\; (2\; –\; 3)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{49\; +\; 1\}\; =\; \backslash sqrt\{50\}$AC=(9−2)2+(2−3)2​=49+1​=50​क्षेत्रफल:

   $Area=AB\times AC=\sqrt{10}\times \sqrt{50}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}\hspace{0.17em}(क्षेत्रफल)\backslash text\{Area\}\; =\; AB\; \backslash times\; AC\; =\; \backslash sqrt\{10\}\; \backslash times\; \backslash sqrt\{50\}\; =\; \backslash sqrt\{500\}\; =\; 10\backslash sqrt\{5\}\; \backslash ,\; \backslash text\{(क्षेत्रफल)\}$Area=AB×AC=10​×50​=500​=105​(क्षेत्रफल)

2. विकर्ण BD की लम्बाई: $B(3,0)B(3,\; 0)$B(3,0) और $D(x,y)D(x,\; y)$D(x,y) के लिए, $DD$D के निर्देशांक $(9,3)(9,\; 3)$(9,3) मान सकते हैं (चौकोरता बनाए रखने के लिए)। विकर्ण BD की लम्बाई:

   $BD=\sqrt{(9-3{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}BD\; =\; \backslash sqrt\{(9\; –\; 3)^2\; +\; (3\; –\; 0)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{36\; +\; 9\}\; =\; \backslash sqrt\{45\}\; =\; 3\backslash sqrt\{5\}$BD=(9−3)2+(3−0)2​=36+9​=45​=35​

अतः, आयत का क्षेत्रफल $10\sqrt{5}10\backslash sqrt\{5\}$105​ और विकर्ण BD की लम्बाई $3\sqrt{5}3\backslash sqrt\{5\}$35​ है।

20वीं शताब्दी के पूर्वार्ध में, भारत के स्वतंत्रता संघर्ष में प्रवासी भारतीयों ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। ये प्रवासी भारतीय विदेश में भारत की स्वतंत्रता के लिए आवाज उठाने और समर्थन प्रदान करने में सक्रिय रहे।

विदेशी देशों में रहकर भारतीय समुदायों ने विदेशी सरकारों को भारतीय स्वतंत्रता संघर्ष की भूमिका और महत्व के प्रति जागरूक किया। उन्होंने विदेशी समाचार पत्रिकाओं, आंतरराष्ट्रीय संगठनों, और राजनैतिक नेताओं के साथ मिलकर भारत की आजादी के लिए अभियान चलाया।

भारतीय विदेश में रहने वाले नेताओं में विवेकानंद, महात्मा गांधी, लाला हरदयाल, भगत सिंह, सरोजिनी नायडू, और अन्य महान व्यक्तियों ने भी अहम भूमिका निभाई। उन्होंने विदेश में भारत की समस्याओं और स्वतंत्रता मुद्दों पर चर्चा की और अंतरराष्ट्रीय समर्थन प्राप्त किया।

इन प्रवासी भारतीयों की भूमिका ने भारतीय स्वतंत्रता संघर्ष को अंतर्राष्ट्रीय स्तर पर पहुंचाया और विदेशी समर्थन को बढ़ावा दिया। उनका संघर्ष और समर्थन ने भारतीय आजादी को मजबूत किया और उसे अंततः सफलता तक पहुंचाया।

भारत में कार्यस्थल पर लैंगिक समावेशिता की अभावना महिलाओं के खिलाफ एक गंभीर समस्या है। सांस्कृतिक और लैंगिक पूर्वाग्रहों की वजह से, महिलाएं कार्यस्थल में अनुचित व्यवहार, बदलते कार्य समय, वेतन के अंतर, और अधिक बाधाओं का सामना करती हैं।

इस समस्या का समाधान करने के लिए सामाजिक-कानूनी उपाय आवश्यक है। सबसे पहले, जागरूकता बढ़ाना और शिक्षा के माध्यम से संवेदनशीलता को बढ़ावा देना जरूरी है। समान वेतन, कर्मचारी सुरक्षा, और महिला-स्वास्थ्य की सुविधा पहुंचाने के लिए कानूनों की पालना और कड़ी कार्रवाई भी जरूरी है।

कंपनियों को लैंगिक समावेशिता की नीतियों को बनाने और उन्हें पालने के लिए प्रोत्साहित करना चाहिए। संगठनों को महिलाओं के लिए सुरक्षित और स्वास्थ्यपूर्ण कार्यावाही उपलब्ध करानी चाहिए।

इस समस्या का समाधान केवल कानूनी कदमों से ही नहीं, बल्कि सामाजिक परिवर्तनों और सांस्कृतिक बदलावों के माध्यम से होगा। महिलाओं को समान अवसर और सम्मान का अधिकार होना चाहिए, जो समृद्ध समाज के निर्माण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

Overcoming Language Barriers and Improving Exam Performance for UPSC Mains

Language barriers can pose significant challenges for UPSC Mains aspirants, particularly if the exam language is different from one’s native language. Here are strategies to overcome these barriers and enhance your exam performance:

1. Choose the Right Medium of Exam
Language Selection:

Medium of Exam: Opt for the language in which you are most comfortable for writing the exam. This choice can greatly influence your performance.
Available Options: Check the language options available for the UPSC Mains exam and select one that aligns with your proficiency.
Recent Example:

In the 2023 UPSC Mains, candidates who chose Hindi or their regional languages, which they were comfortable with, performed better in the written exams due to their ability to articulate answers more effectively.
2. Improve Language Skills Through Practice
Regular Practice:

Reading and Writing: Engage in daily reading and writing exercises in the exam language to build proficiency.
Language Courses: Consider taking language improvement courses or using language learning apps.
Recent Example:

Aspirants preparing for the 2024 exam who practiced extensively with language-specific resources and writing exercises saw marked improvements in their ability to express complex ideas clearly.
3. Use Language-Specific Study Materials
Resource Utilization:

Local Language Resources: Use study materials, books, and notes in your chosen language to better understand concepts.
Translation Tools: Employ translation tools or apps to convert important resources and notes into your preferred language.
Recent Example:

In 2023, students who utilized study materials and reference books in their native language or language of the exam found it easier to grasp difficult concepts and retain information.
4. Practice Answer Writing in the Exam Language
Writing Skills:

Regular Practice: Write practice answers and essays in the language of the exam to get accustomed to formulating responses effectively.
Feedback and Improvement: Seek feedback on your language use in answers to identify and correct errors.
Recent Example:

For the 2024 exam, candidates who practiced answer writing regularly in the exam language and received feedback from mentors or peers saw improvements in clarity and coherence.
5. Enhance Vocabulary and Grammar
Build Language Proficiency:

Vocabulary Expansion: Regularly learn and use new words and phrases relevant to the exam topics.
Grammar Improvement: Work on grammar and sentence structure to improve the quality of your written responses.
Recent Example:

In the 2023 cycle, aspirants who focused on expanding their vocabulary and improving grammar through targeted exercises performed better in exams requiring detailed and precise responses.
6. Utilize Online Resources and Apps
Digital Tools:

Language Learning Apps: Use apps like Duolingo or Babbel to enhance language skills.
Online Forums: Participate in online forums and discussion groups in the exam language to practice writing and comprehension.
Recent Example:

Aspirants preparing for the 2024 exam who used online language learning tools and engaged in forums found these resources helpful for improving their language skills and understanding exam-specific terminologies.
7. Engage in Mock Tests and Practice Papers
Simulated Practice:

Mock Tests: Take mock tests in the exam language to build confidence and test your language proficiency under exam conditions.
Practice Papers: Solve practice papers and previous years’ papers in the language of the exam to familiarize yourself with the format and style.
Recent Example:

Candidates who engaged in mock tests and practice papers in their exam language in 2023 reported better performance and reduced anxiety during the actual exam.
8. Seek Help from Language Mentors or Tutors
Professional Assistance:

Tutoring: Enroll in language tutoring or coaching specifically focused on UPSC exam preparation.
Mentorship: Seek guidance from mentors who can provide tailored support for overcoming language barriers.
Recent Example:

In 2024, several aspirants benefited from working with language tutors who specialized in exam preparation, resulting in improved clarity and confidence in their written responses.
9. Emphasize Understanding Over Translation
Focus on Comprehension:

Conceptual Understanding: Prioritize understanding concepts in the exam language rather than translating from your native language.
Practice Directly: Practice answering questions directly in the exam language to build familiarity and fluency.
Recent Example:

Candidates who focused on understanding exam concepts in the 2023 language rather than translating found it easier to articulate their responses and perform better.
By implementing these strategies, UPSC Mains aspirants can effectively overcome language barriers, enhance their exam performance, and improve their overall exam preparation experience.